Question

15．已知向量$\overrightarrow{a}$与向量$\overrightarrow{b}$的夹角为120°，若（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）⊥（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$），|$\overrightarrow{a}$|=2，则向量$\overrightarrow{b}$在$\overrightarrow{a}$上的投影为（　　）

• A． $-\frac{{\sqrt{33}}}{8}$
• B． $\frac{\sqrt{33}+1}{8}$
• C． -$\frac{\sqrt{33}+1}{8}$
• D． $\frac{1-\sqrt{33}}{8}$

Answer 1

分析 根据（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）=0计算|$\overrightarrow{b}$|，代入投影公式即可得出答案．

解答 解：∵（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）⊥（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$），
∴（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）=$\overrightarrow{a}$²-$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$-2$\overrightarrow{b}$²=0，
又${\overrightarrow{a}}^{2}$=4，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=2|$\overrightarrow{b}$|cos120°=-|$\overrightarrow{b}$|，${\overrightarrow{b}}^{2}$=|$\overrightarrow{b}$|²，
∴4-|$\overrightarrow{b}$|-2|$\overrightarrow{b}$|²=0，解得|$\overrightarrow{b}$|=$\frac{\sqrt{33}-1}{4}$．
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\frac{1-\sqrt{33}}{4}$，
∴向量$\overrightarrow{b}$在$\overrightarrow{a}$上的投影为$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|}$=$\frac{1-\sqrt{33}}{8}$．
故选D．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．