Question

17．从参加数学竞赛的学生中抽出20名学生，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如图所示．观察图形，回答下列问题：

（1）[79.5，89.5）这一组的频率和频数分别为多少？
（2）估计该次数学竞赛的及格率（60分及以上为及格）；
（3）若从第一组和第三组的所有学生中随机抽取两人，求他们的成绩相差不超过10分的概率．

Answer 1

分析 （1）由频率分布直方图能求出[79.5，89.5）这一组的频率和频数．
（2）由频率分布直方图能估计该次数学竞赛的及格率（60分及以上为及格）．
（3）第一组有学生2人，第三组有学生3人，从5人中随机抽取2人，共有${C}_{5}^{2}$=10种情况，记抽取的2人成绩相差不超过10分为事件A，共包含：${C}_{2}^{2}+{C}_{3}^{2}$=4种情况，由此能求出他们的成绩相差不超过10分的概率．

解答 解：（1）由频率分布直方图得：
[79.5，89.5）这一组的频率为：0.025×10=0.25，
[79.5，89.5）这一组的频数为：20×0.25=5．
（2）由频率分布直方图得：
估计该次数学竞赛的及格率（60分及以上为及格）为：
（0.015+0.03+0.025+0.005）×10=0.75=75%．
（3）第一组有学生0.01×10×20=2人，
第三组有学生0.015×10×20=3人，
从5人中随机抽取2人，共有${C}_{5}^{2}$=10种情况，
记抽取的2人成绩相差不超过10分为事件A，共包含：${C}_{2}^{2}+{C}_{3}^{2}$=4种情况，
∴他们的成绩相差不超过10分的概率p=$\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$．

点评 本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，考查频率分布直方图、古典概型、列举法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．