Question

已知函数f（x）=

1

3

x³-

1

2

（a+2）x²+2ax-a²（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若a=4，y=f（x）的图象与直线y=m有三个交点，求m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出函数定义域为x∈R，f′（x）=x²-（a+2）x+2a=（x-a）（x-2），由此根据a的取值范围进行分类讨论，能求出f（x）的单调区间．
（Ⅱ）若a=4，由（Ⅰ）可得f（x）在（-∞，2]上单调递增，在[4，+∞）上单调递增，在[2，4]上单调递减．由此能求出f（x）的极值，从而能求出y=f（x）的图象与直线y=m有三个交点时m的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）函数f(x)=

1

3

x3-

1

2

(a+2)x2+2ax-a2的定义域为x∈R，
f′（x）=x²-（a+2）x+2a=（x-a）（x-2），（2分）
①当a=2时，f'（x）≥0恒成立，f（x）在R上是增函数．（4分）
 ②当a＜2时，f'（x）≥0在（-∞，a]和[2，+∞）上恒成立，
f′（x）≤0在[a，2]上恒成立．
∴a＜2时f（x）的增区间为（-∞，a]，[2，+∞），f（x）的减区间为[a，2]．（6分）
 ③当a＞2时，f′（x）≥0在（-∞，2]和[a，+∞）上恒成立，
f′（x）≤0在[2，a]上恒成立，
∴a＞2时，f（x）的增区间为（-∞，2]和[a，+∞），f（x）的减区间为[2，a]．（8分）
（Ⅱ）若a=4，由（Ⅰ）可得f（x）在（-∞，2]上单调递增，
在[4，+∞）上单调递增，在[2，4]上单调递减．（10分）
∴f（x）_极小值=f（4）=-

32

3

，（11分）f（x）_极大值=f（2）=-

28

3

，（12分）
∴y=f（x）的图象与直线y=m有三个交点时m的取值范围是（-

32

3

，-

28

3

）．（14分）

点评：本题考查函数的单调区间的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的灵活运用和分类讨论思想的合理运用．