Question

数列{a_n}中，a1=1，a2=2，且an+2-an=1+(-1)n(n∈N+)．
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．
（3）若S_n＞t•n-4对于n∈N^*恒成立，求t的取值范围．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）分情况讨论，n为奇数和偶数时，a_n的取值即可．
（2）分情况讨论，n为奇数和偶数时分别求和，求和是利用分组求和法．
（3）恒成立问题要先分离变量，后利用基本不等式解决．

解答： 解：（1）∵an+2-an=1+(-1)n(n∈N+)
当n为奇数时，a_n+2-a_n=0（n∈N^_*），
即a_n+2=a_n
∵a₁=1，
∴当n为奇数时，a_n=1；
当n为偶数时，a_n+2-a_n=2（n∈N₊），
即a_n+2=a_n+2（n∈N₊），
∵a₂=2，
∴a_2k=2+（k-1）2=2k
∴当n为偶数时，a_n=n
∴a_n的通项公式为an=

1， n为奇数 n， n为偶数

（2）由（1）可知，
当n为偶数时，Sn=1+2+1+4+…+1+n=

n

2

+

n 2 (2+n)

2

=

n2+4n

4

当n为奇数时，Sn=Sn-1+1=

(n-1)2+4(n-1)

4

+1=

(n+1)2

4

故Sn=

(n+1)2 4 ， n为奇数 n2+4n 4 ， n为偶数

（3）∵S_n＞t•n-4对于n∈N^*恒成立，
∴由（2）可知
①当n为偶数时，即

n2+4n

4

＞t•n-4恒成立
不等式转化为t＜

n2+4n+16

4n

∵

n2+4n+16

4n

=

n

4

+

4

n

+1≥2+1=3，
当且仅当n=4时取等号
∴t＜3
②当n为奇数时，即

(n+1)2

4

＞t•n-4恒成立
不等式转化为t＜

n2+2n+17

4n

，
∵

n2+2n+17

4n

=

n

4

+

17

4n

+

1

2

≥

17

2

+

1

2

当且仅当n=

17

时取等号，
∵n∈N^*，
∴当n=3时

n2+2n+17

4n

=

8

3

，
当n=5时

n2+2n+17

4n

=

13

5

取最小值为

13

5

∴t＜

13

5

综上所述，t的取值范围是t＜

13

5

．

点评：本题考查了等比数列的定义，通项公式及前n项和公式，以及分类讨论的思想，综合运用了逐差求和法和分组求和法，难度较大．