题目内容

【选修4-5：不等式选讲】
已知不等式x+|3x-3|＜5的解集为M．
（Ⅰ）求集合M；
（Ⅱ）若a，b∈M，证明：ab-2＜2b-a．
考点：绝对值不等式的解法
专题：不等式的解法及应用,不等式
分析：（Ⅰ）利用绝对值的意义：不等式x+|3x-3|＜5可化为
x≤1
x+(3-3x)＜5
或
x＞1
x+(3x-3)＜5
解得即可．
（Ⅱ）由于a，b∈M，可得（ab-2）-（2b-a）=（ab+a）-（2b+2）=（b+1）（a-2）＜0即可证明．
解答： 证明：（Ⅰ） 不等式x+|3x-3|＜5可化为
x≤1
x+(3-3x)＜5
或
x＞1
x+(3x-3)＜5

解得-1＜x≤1或1＜x＜2）
∴M=（-1，2）．
（Ⅱ）∵a，b∈M，∴-1＜a＜2，-1＜b＜2．
∴（ab-2）-（2b-a）=（ab+a）-（2b+2）=（b+1）（a-2）＜0
∴ab-2＜2b-a．
点评：本题考查了含绝对值的不等式的解法、分类讨论、元素与集合的关系、“作差法”证明不等式等基础知识与基本技能方法，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
数列{an}中，a1=1，a2=2，且an+2-an=1+(-1)n(n∈N+)．
（1）求数列{an}的通项公式．
（2）求数列{an}的前n项和Sn．
（3）若Sn＞t•n-4对于n∈N*恒成立，求t的取值范围．
如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为一直角梯形，侧面PAD是等边三角形，其中BA⊥AD，CD⊥AD，CD=2AD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，E是PC的中点．
（1）求证：BE∥平面PAD；
（2）求BC与平面BDE所成角的余弦值；
（3）线段PC上是否存在一点M，使得AM⊥平面PBD，如果存在，求出PM的长度；如果不存在，请说明理由．
函数f（x）=x2+14x-3在区间（-5，5）上最大值、最小值情况为（　　）
A、有最大值，没最小值
B、有最小值，没最大值
C、有最大值，也有最小值
D、没有最大值，也没有最小值
在△ABC中，A=60°，a=4
3
，b=4
2
，则B=（　　）
A、30°B、45°
C、120°D、135°
已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=-
1
2
，
1
Sn
+Sn-1=-2(n≥2，n∈N*)．
（1）求S1，S2，S3，S4的值；
（2）猜想Sn的表达式；并用数学归纳法加以证明．
化简下列各式：
（1）
1+sinα
1-sinα
-
1-sinα
1+sinα
，已知α是第三角限角
（2）
sin(2π-∂)•sin(π+∂)•cos(-π-∂)
sin(3π-∂)•cos(π-∂)

（3）
1+2sin290°cos430°
sin250°+cos790°
．
所有终边在y轴上的角构成的集合为{α|α=
 
，k∈Z}．
直线2x-3y+1=0和x-3=0的夹角是（　　）
A、π-arctan
2
3
B、
π
2
-arctan
2
3
C、arctan
2
3
D、
π
2
+arctan
2
3

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