Question

13．数列{a_n}满足a₁=$\frac{π}{6}$，a_n+1∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），且tana_n+1=$\frac{1}{cos{a}_{n}}$（n∈N^•），令b_n=tan²a_n，则数列{b_n}的前6项和为17．

Answer 1

分析 由已知得tan²a_n+1=$\frac{1}{co{s}^{2}{a}_{n}}$=1+tan²a_n，从而数列{b_n}是等差数列，首项tan²a₁=$\frac{1}{3}$，以1为公差，由此能求出数列{b_n}的前6项和．

解答 解：∵数列{a_n}满足a₁=$\frac{π}{6}$，a_n+1∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），且tana_n+1=$\frac{1}{cos{a}_{n}}$（n∈N^•），
且tana_n+1•cosa_n=1（n∈N^*）．
故tan²a_n+1=$\frac{1}{co{s}^{2}{a}_{n}}$=1+tan²a_n，
∵b_n=tan²a_n，∴数列{b_n}是等差数列，首项tan²a₁=$\frac{1}{3}$，以1为公差．
∴tan²a_n=$\frac{1}{3}$+（n-1）×1=$\frac{3n-2}{3}$，
∴数列{b_n}的前n项和S_n=$\frac{1}{3}n$+$\frac{n（n-1）}{2}$=$\frac{1}{2}{n}^{2}$-$\frac{1}{6}$n．
∴数列{b_n}的前6项和为S₆=$\frac{1}{2}×36-\frac{1}{6}$×6=17．
故答案为：17．

点评 本题考查数列的前6项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．