Question

已知函数，
（1）求函数的极值点；
（2）若直线过点，并且与曲线相切，求直线的方程；
（3）设函数，其中，求函数在上的最小值（其中为自然对数的底数）.

Answer 1

（1）是函数的极小值点，极大值点不存在；（2）；（3）当时，的最小值为0；当时，的最小值为；当时，的最小值为.

试题分析：（1）先求函数的定义域，再按用导数法求极值的步骤求解；（2）设切点的坐标，用点斜式写出切线的方程，由点在切线上求出切点的横坐标，从而求得切线的方程；（3）.
试题解析：（1），，，令，则.
当，，，，故是函数的极小值点，极大值点不存在.
（2）由直线过点，并且与曲线相切，而不在的图象上，
设切点为，直线的斜率，方程为，
又在直线上，，解得，
故直线的方程为.
（3）依题意，，，，令，则，
所以当，，单调递减；，，单调递增；
又，所以①当，即时，的极小值为；②当，即时，的极小值为；③当，即时，的极小值为.
故①当时，的最小值为0；②当时，的最小值为；③当时，的最小值为.