Question

【题目】平面直角坐标系中，椭圆： （）的离心率是，抛物线： 的焦点是的一个顶点．

（1）求椭圆的方程；

（2）设是上动点，且位于第一象限， 在点处的切线与交于不同的两点， ，线段的中点为，直线与过且垂直于轴的直线交于点．

（i）求证：点在定直线上；

（ii）直线与轴交于点，记的面积为， 的面积为，求的最大值及取得最大值时点的坐标．

Answer 1

【答案】(1) (2)①见解析②的最大值为，此时点的坐标为

【解析】试题分析：（I）运用椭圆的离心率公式和抛物线的焦点坐标，以及椭圆的a，b，c的关系，解得a，b，进而得到椭圆的方程；

（Ⅱ）（i）设，运用导数求得切线的斜率和方程，代入椭圆方程，运用韦达定理，可得中点D的坐标，求得OD的方程，再令x= ，可得．进而得到定直线；

（ii）由直线l的方程为，令x=0，可得G（0， ），运用三角形的面积公式，可得， ，化简整理，再（t≥1），整理可得t的二次方程，进而得到最大值及此时P的坐标．

试题解析：

（1）由题意知，可得： .

因为抛物线的焦点为，所以，

所以椭圆C的方程为

（2）（Ⅰ）设，由可得，

所以直线的斜率为，

因此直线的方程为，即.

设，联立方程

得，

由，得且，

因此,

将其代入得，

因为，所以直线方程为.

联立方程，得点的纵坐标为，

即点在定直线上

（Ⅱ）由（Ⅰ）知直线方程为，

令得，所以，

又 ，

所以，

，

所以，

令，则，

当，即时， 取得最大值，此时，满足，

所以点的坐标为，因此的最大值为，此时点的坐标为