Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD=CD=2AB=2，PA⊥AD，AB∥CD，CD⊥AD，E为PC的中点，且DE=EC．

（1）求证：PA⊥面ABCD；
（2）设PA=a，若平面EBD与平面ABCD所成锐二面角θ∈（ ， ），求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵E为PC的中点，DE=EC=PE

∴PD⊥DC，

∵CD⊥AD，PD∩AD=D，

∴CD⊥平面PAD，

∵PA平面PAD，

∴CD⊥PA，

∵PA⊥AD，AD∩CD=D，

∴PA⊥面ABCD；

（2）解：以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间坐标系，

B（1，0，0），D（0，2，0）P（0，0，a），C（2，2，0），

平面BCD法向量 =（0，0，1），平面EBD法向量

，可得

【解析】（1）证明CD⊥平面PAD，可得CD⊥PA，利用PA⊥AD，AD∩CD=D，可以证明PA⊥面ABCD；（2）以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量的夹角公式，结合平面EBD与平面ABCD所成锐二面角θ∈（ ， ），即可求a的取值范围．
【考点精析】关于本题考查的直线与平面垂直的判定，需要了解一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想才能得出正确答案．