已知△ABC的内角A.B.C的对边分别为a.b.c.下列说法中:①在△ABC中.a=x.b=2.B=45°.若该三角形有两解.则x取值范围是2＜x＜2$\sqrt{2}$,②在△ABC中.若b=8.c=5.A=60°.则△ABC的外接圆半径等于$\frac{7\sqrt{3}}{3}$,③在△ABC中.若AB=4.AC=7.BC=9.则BC边的中线AD=$\frac{7}{2}$,④设三� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

10．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法中：
①在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若该三角形有两解，则x取值范围是2＜x＜2$\sqrt{2}$；
②在△ABC中，若b=8，c=5，A=60°，则△ABC的外接圆半径等于$\frac{7\sqrt{3}}{3}$；
③在△ABC中，若AB=4，AC=7，BC=9，则BC边的中线AD=$\frac{7}{2}$；
④设三角形ABC的BC边上的高AD=BC，a、b、c分别表示角A、B、C对应的三边，则$\frac{b}{c}$+$\frac{c}{b}$的取值范围是[2，$\sqrt{5}$]
其中正确说法的序号是①②③④（注：把你认为是正确的序号都填上）．

分析对4个命题分别进行判断，即可得出结论．

解答解：①因为AC=b=2，要使三角形有两解，就是要使以C为圆心，半径为2的圆与BA有两个交点，
当A=90°时圆与AB相切；当A=45°时交于B点，也就是只有一解，
∴45°＜A＜90°，即$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜sinA＜1，
∵b=2，B=45°，
∴由正弦定理a=x=$\frac{bsinA}{sinB}$=2$\sqrt{2}$sinA，
又$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜sinA＜1，
∴2$\sqrt{2}$sinA∈（2，2$\sqrt{2}$），
则x取值范围是2＜x＜2$\sqrt{2}$，本选项正确；
②∵b=8，c=5，A=60°，
∴由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=64+25-40=49，
解得：a=7，
设三角形ABC的外接圆半径为R，
根据正弦定理得：2R=$\frac{7}{sin60°}$，解得：R=$\frac{7\sqrt{3}}{3}$，本选项正确；
③∵AB=c=4，AC=b=7，BC=a=9，
∴由余弦定理得：cosB=$\frac{2}{3}$，
又D为BC的中点，∴BD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{9}{2}$，
在三角形ABD中，AB=4，BD=$\frac{9}{2}$，cosB=$\frac{2}{3}$，
由余弦定理得：AD²=AB²+BD²-2AB•BDcosB=$\frac{49}{4}$，
解得：AD=$\frac{7}{2}$，本选项正确；
④∵BC边上的高AD=BC=a，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}{a}^{2}=\frac{1}{2}bcsinA$，
∴sinA=$\frac{{a}^{2}}{bc}$，又cosA=$\frac{1}{2}$（$\frac{b}{c}$+$\frac{c}{b}$-$\frac{{a}^{2}}{bc}$），
∴$\frac{b}{c}$+$\frac{c}{b}$=2cosA+sinA
=$\sqrt{5}$sin（α+A）≤$\sqrt{5}$，
（其中sinα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$），
又$\frac{b}{c}$+$\frac{c}{b}$≥2，
∴$\frac{b}{c}$+$\frac{c}{b}$∈[2，$\sqrt{5}$]，本选项正确，
则正确说法的序号是①②③④．
故答案为：①②③④．

点评此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦、余弦定理，正弦函数的定义域与值域，三角形的面积公式，二倍角的正弦函数公式，直角三角形内切圆半径求法，两角和与差的正弦函数公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．

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