Question

15．设y=f（x）在R上有定义．对于给定的正数K，定义f_k（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），f（x）≤K}\\{K，f（x）＞K}\end{array}\right.$，取函数f（x）=$2-x-\frac{1}{e^x}$．若对任意的x∈R，恒有f_k（x）=f（x），则（　　）

• A． K的最小值为1
• B． K的最小值为2
• C． K的最大值为1
• D． K的最大值为2

Answer 1

分析 根据新定义的函数建立f_k（x）与f（x）之间的关系，通过二者相等得出实数k满足的条件，利用导数或者函数函数的单调性求解函数的最值，进而求出k的范围，进一步得出所要的结果．

解答 解：由题意可得出k≥f（x）_最大值，
由于f′（x）=-1+e^-x，令f′（x）=0，e^-x=1=e⁰解出-x=0，即x=0，
当x＞0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
故当x=0时，f（x）取到最大值f（0）=2-1=1．
故当k≥1时，恒有f_k（x）=f（x）．
因此K的最小值是1．
故选：A．

点评 本题考查学生对新定义型问题的理解和掌握程度，理解好新定义的分段函数是解决本题的关键，将所求解的问题转化为求解函数的最值问题，利用了导数的工具作用，体现了恒成立问题的解题思想．