题目内容
在△ABC中，D为BC边上的一点，且DC=2BD，E为AD的中点，过点E的直线分别交AB、AC于点M、N，设
=x
，
=y
，则
+
= ．
| AM |
| AB |
| AN |
| AC |
| 1 |
| x |
| 1 |
| 2y |
考点：平面向量的基本定理及其意义
专题：平面向量及应用
分析：如图所示，由三点M，E，N共线，可得：存在实数λ使得
=λ
+(1-λ)
，利用已知与向量三角形法则可得：
=
，
=
+
，
=
，
=
-
，即可得出
=
+
，及
=x
，
=y
，代入利用共面向量基本定理即可得出．
| AE |
| AM |
| AN |
| AE |
| 1 |
| 2 |
| AD |
| AD |
| AB |
| BD |
| BD |
| 1 |
| 3 |
| BC |
| BC |
| AC |
| AB |
| AE |
| 1 |
| 3 |
| AB |
| 1 |
| 6 |
| AC |
| AM |
| AB |
| AN |
| AC |
解答：
解：如图所示，
∵三点M，E，N共线，∴存在实数λ使得
=λ
+(1-λ)
，
∵
=
，
=
+
，
=
，
=
-
，
∴
=
[
+
(
-
)]=
+
，
又
=x
，
=y
，
∴
+
=λx
+y(1-λ)
，
∴
，解得
=3λ，
=3（1-λ），
∴
+
=3λ+3（1-λ）=3．
故答案为：3．
∵三点M，E，N共线，∴存在实数λ使得
| AE |
| AM |
| AN |
∵
| AE |
| 1 |
| 2 |
| AD |
| AD |
| AB |
| BD |
| BD |
| 1 |
| 3 |
| BC |
| BC |
| AC |
| AB |
∴
| AE |
| 1 |
| 2 |
| AB |
| 1 |
| 3 |
| AC |
| AB |
| 1 |
| 3 |
| AB |
| 1 |
| 6 |
| AC |
又
| AM |
| AB |
| AN |
| AC |
∴
| 1 |
| 3 |
| AB |
| 1 |
| 6 |
| AC |
| AB |
| AC |
∴
|
| 1 |
| x |
| 1 |
| 2y |
∴
| 1 |
| x |
| 1 |
| 2y |
故答案为：3．
点评：本题考查了向量共线定理、共面向量基本定理，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
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