Question

7．若${（{\frac{3}{{\sqrt{x}}}-\root{3}{x}}）^n}$的展开式中所有项系数的绝对值之和为1024，则该展开式中的常数项是（　　）

• A． -270
• B． 270
• C． -90
• D． 90

Answer 1

分析 ${（{\frac{3}{{\sqrt{x}}}-\root{3}{x}}）^n}$的展开式中所有项系数的绝对值之和等于$（\frac{3}{\sqrt{x}}+\root{3}{x}）^{n}$为展开式中所有项系数的绝对值之和，令x=1可得：4ⁿ=1024，解得n=5．利用$（\frac{3}{\sqrt{x}}-\root{3}{x}）^{5}$的通项公式即可得出．

解答 解：${（{\frac{3}{{\sqrt{x}}}-\root{3}{x}}）^n}$的展开式中所有项系数的绝对值之和等于$（\frac{3}{\sqrt{x}}+\root{3}{x}）^{n}$为展开式中所有项系数的绝对值之和，
令x=1可得：4ⁿ=1024，解得n=5．
∴$（\frac{3}{\sqrt{x}}-\root{3}{x}）^{5}$的通项公式为：T_r+1=${∁}_{5}^{r}（\frac{3}{\sqrt{x}}）^{5-r}（-\root{3}{x}）^{r}$=（-1）^r${∁}_{5}^{r}$3^5-r${x}^{\frac{5r-15}{6}}$，
令$\frac{5r-15}{6}$=0，解得r=3．
∴该展开式中的常数项是$（-1）^{3}{∁}_{5}^{3}×{3}^{2}$=-90．
故选：C．

点评 本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．