Question

抛物线y²=2x与过焦点的直线交于A、B两点，O是原点，则

OA

•

OB

=

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：由抛物线y²=2x与过其焦点（

1

2

，0）的直线方程联立，消去y整理成关于x的一元二次方程，设出A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点坐标，

OA

•

OB

═x₁•x₂+y₁•y₂，由韦达定理可以求得答案．

解答： 由题意知，抛物线y²=2x的焦点坐标为（

1

2

，0），∴直线AB的方程为y=k（x-

1

2

），
由

y2=2x y=k(x- 1 2 )

得k²x²-（k²+2）x+

1

4

k²=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=

k2+2

k2

，x₁x₂=

1

4

，y₁•y₂=k（x₁-

1

2

）•k（x₂-

1

2

）=k²[x₁•x₂-

1

2

（x₁+x₂）+

1

4

]，
∴

OA

•

OB

=x₁•x₂+y₁•y₂=

1

4

+k²[

1

4

-

1

2

k2+2

k2

+

1

4

]=-

3

4

；
故答案为：-

3

4

．

点评：本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，两个向量的数量积公式，转为一元二次方程根与系数的关系的问题．