题目内容
求函数f（x）=
，x∈（0，1]的值域．
| ax |
| ax2+1 |
考点：函数的值域
专题：计算题,函数的性质及应用
分析：f（x）=
=
且a＞-1，分类讨论a的不同取值范围，从而求函数的值域．
| ax |
| ax2+1 |
| a | ||
ax +
|
解答：
解：∵x∈（0，1]，
∴f（x）=
=
且ax+
＞0在（0，1]上恒成立，
∴a＞-1，
①当-1＜a＜0时，
∵ax+
在（0，1]单调递减，
∴ax+
≥1+a＞0，
∴
≤
＜0，
即函数f（x）的值域为：[
，0）；
②当α=0时，函数f（x）的值域为：{0}；
③当0＜α＜1时，函数f（x）在（0，1]上单调递增，
∴0＜f（x）≤
，
即函数f（x）的值域为：（0，
]；
④当a≥1时，ax+
≥2
（当且仅当x=
时，等号成立），
∴0＜
≤
，
即函数f（x）的值域为：（0，
]．
∴f（x）=
| ax |
| ax2+1 |
| a | ||
ax +
|
| 1 |
| x |
∴a＞-1，
①当-1＜a＜0时，
∵ax+
| 1 |
| x |
∴ax+
| 1 |
| x |
∴
| a |
| 1+a |
| ax |
| ax2+1 |
即函数f（x）的值域为：[
| a |
| 1+a |
②当α=0时，函数f（x）的值域为：{0}；
③当0＜α＜1时，函数f（x）在（0，1]上单调递增，
∴0＜f（x）≤
| a |
| 1+a |
即函数f（x）的值域为：（0，
| a |
| 1+a |
④当a≥1时，ax+
| 1 |
| x |
| a |
| 1 | ||
|
∴0＜
| ax |
| ax2+1 |
| ||
| 2 |
即函数f（x）的值域为：（0，
| ||
| 2 |
点评：本题考查了函数的值域的求法，同时考查了分类讨论的思想，属于难题．
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