Question

设定义域为R的函数f（x）=

|x+1|，x≤0 x2-2x+1，x＞0

，且当x＞0时，奇函数g（x）=f（x），求函数g（x）的解析式．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：当x＞0时，利用g（x）=f（x）求解析式；当x＜0时，利用奇函数的性质g（x）=-g（-x）再结合f（x）的解析式求出g（x）的解析式；当x=0时奇函数满足g（0）=0

解答： 解：设x＞0，则g（x）=f（x）=x²-2x+1，
设x＜0，则-x＞0，∴g（-x）=f（-x）=（-x）²-2（-x）+1=x²+2x+1，
∵g（x）为奇函数，∴g（-x）=-g（x）
∴g（x）=-g（-x）=-（x²+2x+1）=-x²-2x-1，
即x＜0时，g（x）=-x²-2x-1，
当x=0时，g（0）=0
∴g（x）=

x2-2x+1，x＞0 0，x=0 -x2-2x-1，x＜0

点评：本题综合考查分段函数、函数的奇偶性、求函数的解析式等内容，一方面注意应用函数的性质，另一方面要注意考虑：分段函数在每一段表达式的条件．