Question

若函数y=f（x）满足f（a+x）+f（a-x）=2b（其中a，b不同时为0），则称函数y=f（x）为“准奇函数”，称点（a，b）为函数f（x）的“中心点”．现有如下命题：
①函数f（x）=sinx+1是准奇函数；
②若准奇函数y=f（x）在R上的“中心点”为（a，f（a）），则函数F（x）=f（x+a）-f（a）不是R上的奇函数；
③已知函数f（x）=x³-3x²+6x-2是准奇函数，则它的“中心点”为（1，2）；
④已知函数f（x）=2x-cosx为“准奇函数”，数列{a_n}是公差为

π

8

的等差数列，若

7

n=1

f（a_n）=7π（其中

n

i=1

a_i表示

n

i=1

a_i=a₁+a₂+…+a_n），则

[f(a4)]2

a1•a7

=

64

7

其中正确的命题是

 

．（写出所有正确命题的序号）

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：①f（0+x）+f（0-x）=2，得a=0，b=1，满足“准奇函数”的定义，
②根据函数“准奇函数”的定义，利用函数奇偶性的定义即可证明函数F（x）=f（x+a）-f（a）为R上的奇函数．
③f（1+x）+f（1-x）=（1+x）³-3（1+x）²+6（1+x）-2+（1-x）³-3（1-x）²+6（1-x）-2=4，得点（1，2）为函数f（x）的“中心点”，
④根据等差数列的通项公式，求出a₁，a₄，a₇的值，代入进行求解即可．

解答： 解：①∵函数f（x）=sinx+1，∴f（0+x）+f（0-x）=2，∴a=0，b=1，满足“准奇函数”的定义，故①正确；
②若F（x）=f（x+a）-f（a），则F（-x）+F（x）=f（x+a）-f（a）+f（-x+a）-f（a）=f（a-x）+f（a+x）-2f（a），
∵f（x）在R上的“中心点”为（a，f（a）），
∴f（a-x）+f（a+x）=2f（a），
即F（-x）+F（x）=f（a-x）+f（a+x）-2f（a）=0，
∴F（-x）=-F（x），∴函数F（x）=f（x+a）-f（a）为R上的奇函数，∴②错误．
③函数f（x）=x³-3x²+6x-2，∴f（1+x）+f（1-x）=（1+x）³-3（1+x）²+6（1+x）-2+（1-x）³-3（1-x）²+6（1-x）-2=4，
∴点（1，2）为函数f（x）的“中心点”，③正确；
④f（x）=2x-cosx，
∴f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₇）=2（a₁+a₂+…+a₇）-（cosa₁+cosa₂+…+cosa₇），
∵{a_n}是公差d=

π

8

的等差数列，
∴a₁+a₂+…+a₇=7a₄，
cosa₁+cosa₂+…+cosa₇=cos（a₄-3d）+cos（a₄-2d）+（cos（a₄-d）+cosd+cos（a₄+d）+cos（a₄+2d）+cos（a₄+3d）=2cosa₄（cos3d+cos2d+cosd），
∴由 若

7

n=1

f（a_n）=7π，∴f（a_n）=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₇）=7π，
得14a₄-2cosa₄（cos3d+cos2d+cosd）=7π，
∴必有14a₄=7π，且cosa₄=0，
故a₄=

π

2

，
∵公差d=

π

8

，
∴a₁=

π

8

，a₇=

7π

8

，
∴f（a₄）=2×

π

2

-cos

π

2

=π，有a₁a₇=

π

8

×

7π

8

=

7π2

64

，则

[f(a4)]2

a1•a7

=

64

7

，∴④正确．
故答案为：①③④

点评：本题主要考查函数中心的定义的应用，综合性较强，运算量量较大，难度非常大．