Question

15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，其外接圆的半径是1，且满足2（sin²A-sin²C）=（$\sqrt{2}$a-b）sinB．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）用正弦定理化简已知等式，整理后再用余弦定理变形，求出cosC的值，从而求出C的度数；
（Ⅱ）由C的度数求出A+B的度数，用A表示出B，用三角形的面积公式列出关系式，用正弦定理化简后，利用两角和与差的正弦函数公式化简，根据正弦函数的图象与性质求出最大值．

解答 解：（Ⅰ）△ABC中，其外接圆的半径是1，
∴$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=2R=2，
∴sinA=$\frac{a}{2}$，sinB=$\frac{b}{2}$，sinC=$\frac{c}{2}$；
又2（sin²A-sin²C）=（$\sqrt{2}$a-b）sinB，
∴2（$\frac{{a}^{2}}{4}$-$\frac{{c}^{2}}{4}$）=（$\sqrt{2}$a-b）•$\frac{b}{2}$，
即a²+b²-c²=$\sqrt{2}$ab，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}{-c}^{2}}{2ab}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
又C∈（0，π），
∴C=$\frac{π}{4}$；
（Ⅱ））∵C=$\frac{π}{4}$，∴A+B=$\frac{3π}{4}$，即B=$\frac{3π}{4}$-A，
∵$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=2，即a=2sinA，b=2sinB，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=2sinAsinBsin$\frac{π}{4}$
=$\sqrt{2}$sinAsinB
=$\sqrt{2}$sinAsin（$\frac{3π}{4}$-A）
=$\sqrt{2}$sinA（$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosA+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinA）
=sinAcosA+sin²A
=$\frac{1}{2}$sin2A+$\frac{1}{2}$（1-cos2A）
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2A-$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos2A）+$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2A-$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$，
当2A-$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，即A=$\frac{3π}{8}$时，△ABC的面积取得最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了正弦、余弦定理，三角恒等变换以及三角形的面积公式应用问题，是综合题．