Question

已知函数f（x）=asinx+cosx-1的最大值是0．
（1）求证：a=0；
（2）若f（x+

π

4

）=-

1

3

，求sin2x的值．

Answer 1

考点：同角三角函数基本关系的运用

专题：三角函数的求值

分析：（1）利用辅角公式化简解析式可得f（x）=

a2+1

sin（x+φ）-1，其中tanφ=

1

a

，由已知即可求a的值为0．
（2）由（1）可得f（x）=cosx-1，从而由已知可解得cosx-sinx=

2 2

3

，即可求得sin2x的值．

解答： 解：（1）∵f（x）=asinx+cosx-1=

a2+1

sin（x+φ）-1，其中tanφ=

1

a

，
∵函数f（x）=asinx+cosx-1的最大值是0．
∴

a2+1

=1，即可解得a=0．
（2）由（1）可得f（x）=cosx-1
∴f（x+

π

4

）=cos（x+

π

4

）-1=-

1

3

，可解得cosx-sinx=

2 2

3

，
∴两边平方可得：1-sin2x=

8

9

，
∴sin2x=

1

9

．

点评：本题主要考察了同角三角函数基本关系的运用，合理应用辅角公式化简是解题的关键，属于中档题．