Question

对于项数为m的有穷数列{a_n}，设b_n为a₁，a₂，…，a_n（n=1，2，…，m）中的最大值，称数列{b_n}是{a_n}的控制数列．例如数列3，5，4，7的控制数列是3，5，5，7．
（Ⅰ）若各项均为正整数的数列{a_n}的控制数列是2，3，4，6，6，写出所有的{a_n}；
（Ⅱ）设{b_n}是{a_n}的控制数列，满足a_n+b_m-n+1=C（C为常数，n=1，2，…，m）．
证明：b_n=a_n（n=1，2，…，m）．
（Ⅲ）考虑正整数1，2，…，m的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列{c_n}．是否存在数列{c_n}，使它的控制数列为等差数列？若存在，求出满足条件的数列{c_n}的个数；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：数列的应用

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）根据题意，可得数列{a_n}为：2，3，4，6，1；2，3，4，6，2；2，3，4，6，3；2，3，4，6，4；2，3，4，6，5；2，3，4，6，6；
（Ⅱ）依题意可得b_n+1≥b_n，从而可得a_n+1-a_n=b_m-n+1-b_m-n≥0，整理即证得结论；
（Ⅲ）确定e_m=m，分类讨论，即可得出结论．

解答： （Ⅰ）解：数列{a_n}有6个，分别为2，3，4，6，1；2，3，4，6，2；2，3，4，6，3；2，3，4，6，4；2，3，4，6，5；2，3，4，6，6．…（3分）
（Ⅱ）证明：∵b_n=max{a₁，a₂，…，a_n}，b_n+1=max{a₁，a₂，…，a_n+1}，
∴b_n+1≥b_n…6分
∵a_n+b_m-n+1=C，a_n+1+b_m-n=C，
∴a_n+1-a_n=b_m-n+1-b_m-n≥0，即a_n+1≥a_n，…8分
∴b_n=a_n．…（6分）
（Ⅲ）解：设数列{c_n}的控制数列为{e_n}，
因为e_m为前m个正整数中最大的一个，所以e_m=m．    …（7分）
设公差为d，
因为e_n+1≥e_n，所以d≥0．且d∈N       …（8分）
（1）当d=0时，{e_n}为常数列：m，m，…，m，…（9分）
此时数列{c_n}是首项为m的任意一个排列，共有

A

m-1 m-1

个数列；  …（10分）
（2）当d=1时，符合条件的数列{e_n}只能是1，2，…，m，
此时数列{c_n}是1，2，…，m，有1个；    …（11分）
（3）当d≥2时，∵e_m=e₁+（m-1）d≥1+2（m-1）=m+m-1，
又m＞1，∴e_m＞m，．这与e_m=m矛盾！所以此时{e_n}不存在．…（12分）
综上满足条件的数列{c_n}的个数为

A

m-1 m-1

个．…（13分）

点评：本题考查数列的应用，着重考查分析，对抽象概念的理解与综合应用的能力，是难题．