Question

已知f（x）=lnx-ax²-bx．
（1）若a=-1，函数f（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；
（2）当a=-1，b=-1时，证明函数f（x）只有一个零点；
（3）f（x）的图象与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁＜x₂）两点，AB中点为C（x₀，0），求证：f'（x₀）＜0．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法,函数的零点,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用,导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：（1）求出导数，运用参数分离，得到b≤

1

x

+2x对x∈（0，+∞）恒成立，只需b≤（

1

x

+2x）_min．运用基本不等式求出右边的最小值即可；
（2）求出导数，判断单调性，再由零点存在定理，即可得证；
（3）求出f（x₁）=0，f（x₂）=0，化简整理，再由中点坐标公式，求出f′（x₀）=

1

x1-x2

[

2( x1 x2 -1)

x1 x2 +1

-ln

x1

x2

]，令t=

x1

x2

，h（t）=

2t-2

1+t

-lnt（0＜t＜1），运用导数判断单调性，即可得证．

解答： （1）解：依题意：f（x）=lnx+x²-bx．
∵f（x）在（0，+∞）上递增，
∴f′（x）=

1

x

+2x-b≥0对x∈（0，+∞）恒成立，
即b≤

1

x

+2x对x∈（0，+∞）恒成立，只需b≤（

1

x

+2x）_min． 
∵x＞0，∴

1

x

+2x≥2

2

，当且仅当x=

2

2

时取“=”，
∴b≤2

2

，∴b的取值范围为（-∞，2

2

]；           
（2）证明：当a=-1，b=-1时，f（x）=lnx+x²+x，其定义域是（0，+∞），
f′（x）=

1

x

+2x+1=

2x2+x+1

x

，则f（x）在x＞0上递增，
又f（

1

e

）=-1+

1

e2

+

1

e

＜0，f（1）=2＞0
∴函数f（x）只有一个零点；
（3）证明：由已知得

f(x1)=lnx1-ax12-bx1=0 f(x2)=lnx2-ax22-bx2=0

则

lnx1=ax12+bx1 lnx2=ax22+bx2

，
两式相减，得ln

x1

x2

=a（x₁+x₂）（x₁-x₂）+b（x₁-x₂）=（x₁-x₂）[a（x₁+x₂）+b]
由f′（x）=

1

x

-2ax-b，及2x₀=x₁+x₂，得
f′（x₀）=

1

x0

+2ax₀-b=

2

x1+x2

-[a（x₁+x₂）+b]=

2

x1+x2

-

1

x1-x2

ln

x1

x2

=

1

x1-x2

[

2(x1-x2)

x1+x2

-ln

x1

x2

]=

1

x1-x2

[

2( x1 x2 -1)

x1 x2 +1

-ln

x1

x2

]
令t=

x1

x2

，h（t）=

2t-2

1+t

-lnt（0＜t＜1），
由于h′（t）=-

(t-1)2

t(t+1)2

＜0，则h（t）在（0，1）递减，则h（t）＞h（1）=0，
由于x₁＜x₂，则f′（x₀）＜0．

点评：本题考查导数的运用：求单调区间，判断单调性，考查不等式的恒成立问题转化为求最值，考查函数零点存在定理和构造函数运用导数判断单调性的方法，考查运算能力，属于中档题和易错题．