Question

已知函数f（x）=cos2x
（1）设函数g（x）=f（x）+f（x-

π

4

），求函数g（x）的单调递增区间；
（2）函数h（x）=f（x）-asinx在x∈R上有最小值为-1，求a的值；
（3）当θ∈[0，

π

2

]时，关于θ的方程f（θ）-2mf（

θ

2

）+4m-3=0有解，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,余弦定理的应用

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）对函数g（x）的解析式利用二倍角公式化简整理，利用三角函数的性质求得g（x）的单调递增区间；
（2）求出h（x）的解析式，利用换元法，转化为一元二次函数，分类讨论确定a的值．
（3）整理方程，利用换元法转化为一元二次方程，利用数形结合思想，利用抛物线的性质求得答案．

解答： 解：（1）g（x）=f（x）+f（x-

π

4

）=cos2x+cos（2x-

π

2

）=cos2x+sin2x=

2

sin（2x+

π

4

）
∴当2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），即kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

（k∈Z）时，函数g（x）单调递增，
∴g（x）单调递增区间为[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]（k∈Z）．
（2）h（x）=f（x）-asinx=cos2x-asinx=1-2sin²x-asinx，
令sinx=t，则-1≤t≤1，
h（t）=-2t²-at+1，函数为开口向下，对称轴为t=-

a

4

的抛物线，
当-

a

4

≤-1时，即a≥4时，函数在[-1，1]上单调减，h（t）min=h（1）=-2-a+1=-1，求得a=0，与a≥4矛盾舍去．
当-

a

4

≥1时，即a≤-4，函数在[-1，1]上单调增，h（t）min=h（-1）=-2+a+1=-1，求得a=0，与a≤-4矛盾舍去
当0≥-

a

4

≥-1时，即0≤a≤4，h（t）min=h（1）=-2-a+1=-1，求得a=0
当1≥-

a

4

≥0时，即-4≤a≤0时，h（t）min=h（-1）=-2+a+1=-1，求得a=0，
综合可知a=0．
（3）f（θ）-2mf（

θ

2

）+4m-3=cos2θ-2mcosθ+4m-3=2cos²θ-2mcosθ+4m-2=0，
令cosθ=t，则-1≤t≤1则2t²-2mt+4m-2=0，在[-1，1]有实数解，
即函数f（t）=2t²-2mt+4m-2的图象与x轴有交点，
①当有一个交点时，需

△=4m2-8(4m-2)=0 -1≤ m 2 ≤1

或

f(1)=2-2m+4m-2＜0 f(-1)=2+2m+4m-2＞0

或

f(1)=2-2m+4m-2＞0 f(-1)=2+2m+4m-2＜0

解得m的范围为∅，
②当有两个交点时，需

△=4m2-8(4m-2)＞0 f(1)＞0 f(-1)＞0 -1＜ m 2 ＜1

，解得0＜m＜4-2

3

点评：本题主要考查了三角函数的恒等变换，换元法思想，一元二次函数的图象和性质等问题．