题目内容
在一次招聘考试中，有12道备选题，其中8道A类题，4道B类题，每位考生都要在其中随机抽出3道题回答
（Ⅰ）求某考生至少抽到1道B类题的概率；
（Ⅱ）已知所抽出的3道题中有2道A类题，1道B类题，设该考生答对每道A类题的概率都是
，答对每道B类题的概率都是
，且各题答对与否相互独立，用X表示该考生答对题的个数，求X的分布列和数学期望．
（Ⅰ）求某考生至少抽到1道B类题的概率；
（Ⅱ）已知所抽出的3道题中有2道A类题，1道B类题，设该考生答对每道A类题的概率都是
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
考点：离散型随机变量的期望与方差,古典概型及其概率计算公式
专题：综合题,概率与统计
分析：（Ⅰ）利用对立事件，可求某考生至少抽到1道B类题的概率；
（Ⅱ）X所有可能抽到的值为0，1，2，3，求出随机变量取每一个值的概率值，即可求随机变量的分布列及数学期望．
（Ⅱ）X所有可能抽到的值为0，1，2，3，求出随机变量取每一个值的概率值，即可求随机变量的分布列及数学期望．
解答：
解：（Ⅰ）设事件A1=“某考生所抽的3道题至少有1道B类题”，
则有
1=“某考生所抽的3道题都是A类题”． …（1分）
因为P（
1）=
=
，…（4分）
所以P（A1）=1-P（
1）=55．…（5分）
（Ⅱ）X所有可能抽到的值为0，1，2，3 …（6分）
P（X=0）=
•(
)0•(
)0•
=
；
P（X=1）=
•(
)1•(
)1•
+
•(
)0•(
)2•
=
； …（7分）
P（X=2）=
•(
)2•(
)0•
+
•
•
•
=
；
P（X=3）=
•(
)2•(
)0•
=
．…（8分）
所以X的分布列为：
所以E（X）=0×
+1×
+2×
+3×
=2．…（12分）
则有
. |
| A |
因为P（
. |
| A |
| ||
|
| 14 |
| 55 |
所以P（A1）=1-P（
. |
| A |
（Ⅱ）X所有可能抽到的值为0，1，2，3 …（6分）
P（X=0）=
| C | 0 2 |
| 3 |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
| 4 |
| 125 |
P（X=1）=
| C | 1 2 |
| 3 |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
| C | 0 2 |
| 3 |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 28 |
| 125 |
P（X=2）=
| C | 2 2 |
| 3 |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
| C | 1 2 |
| 3 |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 57 |
| 125 |
P（X=3）=
| C | 2 2 |
| 3 |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 36 |
| 125 |
所以X的分布列为：
| X | 0 | 1 | 2 | 3 | ||||||||
| P |
|
|
|
|
| 4 |
| 125 |
| 28 |
| 125 |
| 57 |
| 125 |
| 36 |
| 125 |
点评：求随机变量的分布列与期望的关键是确定变量的取值，求出随机变量取每一个值的概率值．
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