Question

甲、乙两人进行某项对抗性游戏，采用“七局四胜”制，即先赢四局者为胜，若甲、乙两人水平相当，且已知甲先赢了前两局，求：
（1）乙取胜的概率；
（2）比赛进行完七局的概率．
（3）记比赛局数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．

Answer 1

考点：离散型随机变量及其分布列,n次独立重复试验中恰好发生k次的概率,离散型随机变量的期望与方差

专题：概率与统计

分析：（1）乙取胜有两种情况一是乙连胜四局，二是第三局到第六局中乙胜三局，第七局乙胜，由此能求出乙胜概率．
（2）比赛进行完7局有两种情况：一是甲胜，第3局到第6局中甲胜一局，第7局甲胜，二是乙胜，由此能求出比赛进行完七局的概率．
（3）由题意得ξ=4，5，6，7，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列及数学期望Eξ．

解答： 解：（1）乙取胜有两种情况
一是乙连胜四局，其概率P1=(

1

2

)4=

1

16

二是第三局到第六局中乙胜三局，第七局乙胜，
其概率P2=

C

3 4

(

1

2

)3(1-

1

2

)•

1

2

=

1

8

，
所以乙胜概率为P1+P2=

3

16

．
（2）比赛进行完7局有两种情况：
一是甲胜，第3局到第6局中甲胜一局，第7局甲胜，
其概率p3=

C

1 4

•

1

2

(1-

1

2

)3•

1

2

=

1

8

．
二是乙胜，同（1）中第二种情况，
P₄=P₂=

1

8

，
∴比赛进行完七局的概率为：P₃+P₄=

1

4

．
（3）由题意得ξ=4，5，6，7，
P（ξ=4）=（

1

2

）²=

1

4

，
P（ξ=5）=

C

1 2

(

1

2

)2•

1

2

=

1

4

，
P（ξ=6）=（

1

2

）⁴+

C

1 3

(

1

2

)3•

1

2

=

1

4

，
P（ξ=7）=

1

4

，
所以ξ的分布列为

ξ	4	5	6	7
P	1 4	1 4	1 4	1 4

Eξ=（4+5+6+7）×

1

4

=

11

2

．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题．