Question

已知函数f（x）=sin2x+2cos²x．
（Ⅰ）求函数的周期；
（Ⅱ）求f（x）的最大值及对应的x值的集合．

Answer 1

考点：二倍角的余弦,两角和与差的正弦函数,三角函数的周期性及其求法

专题：综合题,三角函数的求值

分析：（I）根据二倍角的余弦公式结合辅助角公式，化简整理得f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+1，根据函数y=Asin（ωx+φ）的周期，不难得到函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）根据函数y=Asin（ωx+φ）的最大值，即可求f（x）的最大值及对应的x值的集合．

解答： 解：（Ⅰ）∵2cos²x-1=cos2x，
∴f（x）=sin2x+cos2x+1=

2

sin（2x+

π

4

）+1，
因此，函数的周期T=

2π

2

=π；
（Ⅱ）∵-1≤sin（2x+

π

4

）≤1，
∴当2x+

π

4

=

π

2

+2kπ时，即x=

π

8

+kπ（k∈Z）时，函数的最大值为

2

+1．

点评：本题结合辅助角公式和三角函数的降幂公式，将三角函数式化简并求函数的周期与最值，着重考查了三角函数中的恒等变换应用和函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质等知识，属于基础题．