Question

设数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*）
（Ⅰ）证明数列{a_n+1}为等比数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=log₂（a_n+1），求数列{

1

bnbn+1

}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知得a_n+1+1=2（a_n+1），a₁+1=2，由此能证明数列{a_n+1}是以2为首项，以2为公比的等比数列，从而能求出a_n=2ⁿ-1．
（Ⅱ）由b_n=log₂（a_n+1）=n，得

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，由此利用裂项求和法能求出数列{

1

bnbn+1

}的前n项和S_n．

解答： （Ⅰ）证明：∵数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*），
∴a_n+1+1=2（a_n+1），a₁+1=2，
∴数列{a_n+1}是以2为首项，以2为公比的等比数列，
∴a_n+1=2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ-1．
（Ⅱ）解：∵b_n=log₂（a_n+1）=n，
∴

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴T_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要注意裂项求和法的合理运用．