Question

已知二次函数f（x）=x²+bx+c
（1）b=0，c=-1，求f（x）＞0的x范围；
（2）若不等式f（x）＜0的解集为{x|1＜x＜3}，求f（x）的解析式；
（3）若对于（2）中的f（x），不等式f（x）＞mx-1对于x∈R恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（1））b=0，c=-1时，得f（x）=x²-1＞0，解出即可，
（2）不等式f（x）＜0的解集为{x|1＜x＜3}⇒f（x）=x²+bx+c=（x-1）（x-3）=x²-4x+3；
（3）∵f（x）=x²-4x+3＞mx-1对于x∈R恒成立，得出x²-（4+m）x+4＞0对于x∈R恒成立，从而△＜0，解出即可．

解答： 解：（1））b=0，c=-1时，f（x）=x²-1＞0，解得：x＞1或x＜-1，
∴f（x）＞0的x范围时（-∞，-1）∪（1，+∞）；
（2）不等式f（x）＜0的解集为{x|1＜x＜3}
⇒f（x）=x²+bx+c=（x-1）（x-3）=x²-4x+3；
（3）∵f（x）=x²-4x+3＞mx-1对于x∈R恒成立，
∴x²-（4+m）x+4＞0对于x∈R恒成立，
∴△=（4+m）²-16＜0，
解得：-8＜m＜0，
∴实数m的取值范围是：（-8，0）．

点评：本题考查了二次函数的性质，解不等式，判别式的应用，是一道基础题．