Question

8．已知直线l₁，l₂方程分别为2x-y=0，x-2y+3=0，且l₁，l₂的交点为P．
（1）求过点P且与直线x+3y-5=0垂直的直线方程；
（2）若直线l过点P，且坐标原点到直线l的距离为1，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用相互垂直的直线斜率之间的关系、点斜式即可得出．
（2）对斜率分类讨论，利用点到直线的距离公式及其点斜式即可得出．

解答 解：（1）由$\left\{{\begin{array}{l}{2x-y=0}\\{x-2y+3=0}\end{array}}\right.$得P（1，2），…（2分
则与x+3y-5=0垂直的直线斜率为3，故所求直线方程为y-2=3（x-1）
即3x-y-1=0；…（4分）
（2）当直线?斜率不存在时，则?的方程为x=1，满足条件；…（6分）
当直线?斜率不存在时，设?的方程为y-2=k（x-1）即：kx-y-k+2=0
则原点到?的距离为$\frac{{|{-k+2}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=1$，解得$k=\frac{3}{4}$…（8分）
故所求直线?的方程为$y-2=\frac{3}{4}（x-1）$，即3x-4y+5=0…（9分）
综上：所求直线方程为x=1或3x-4y+5=0…（10分）

点评 本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、点斜式、点到直线的距离公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．