Question

6．已知函数f（x）对任意的x，y∈R，总有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性并证明；
（2）若x＜0时恒有f（x）＞0，判断函数f（x）的单调性并证明．

Answer 1

分析 （1）函数f（x）为R上的奇函数．根据函数f（x）对任意的x，y∈R，总有f（x+y）=f（x）+f（y）．令y=x=0，可得f（0）=0，令y=-x，可得f（x-x）=f（x）+f（-x），化为f（-x）=-f（x），即可证明．
（2）函数f（x）在R上单调递减．下面给出证明：?x₁＜x₂，则x₁-x₂＜0，f（x₁-x₂）＞0，只要证明f（x₁）-f（x₂）＞0即可．

解答 解：（1）函数f（x）为R上的奇函数．∵函数f（x）对任意的x，y∈R，总有f（x+y）=f（x）+f（y）．
∴令y=x=0，可得f（0+0）=f（0）+f（0），解得f（0）=0，
令y=-x，可得f（x-x）=f（x）+f（-x），化为f（-x）=-f（x），
因此函数f（x）为R上的奇函数．
（2）函数f（x）在R上单调递减．
下面给出证明：?x₁＜x₂，则x₁-x₂＜0，f（x₁-x₂）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁-x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂）．
∴函数f（x）在R上单调递减．

点评 本题考查了抽象函数的单调性与奇偶性、不等式与方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．