Question

设椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a，b＞0）过M（2，

2

），N（

6

，1）两点，O为坐标原点．
（I）求椭圆E的方程；
（II）若直线y=kx+m与椭圆E恒有两个交点A，B，且

OA

⊥

OB

，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（I）利用椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a，b＞0）过M（2，

2

），N（

6

，1）两点，建立方程组，求出几何量，即可得到椭圆方程；
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），把直线方程y=kx+m代入椭圆方程，得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-8=0，利用△=16k²m²-4×（2k²+1）（2m²-8）=64k²-8m²+32＞0，结合韦达定理、向量知识，即可求出实数m的取值范围．

解答： 解：（I）∵椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a，b＞0）过M（2，

2

），N（

6

，1）两点，
∴

4 a2 + 2 b2 =1 6 a2 + 1 b2 =1

∴a²=8，b²=4
∴椭圆E的方程为

x2

8

+

y2

4

=1；
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
把直线方程y=kx+m代入椭圆方程，消去y，得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-8=0，
∴x₁+x₂=-

4km

2k2+1

，x₁x₂=

2m2-8

2k2+1

∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=

m2-8k2

2k2+1

∵

OA

⊥

OB

∴x₁x₂+y₁y₂=0
∴

2m2-8

2k2+1

+

m2-8k2

2k2+1

=0
∴k2=

3m2

8

-1
∵△=16k²m²-4×（2k²+1）（2m²-8）=64k²-8m²+32＞0
∴24m²-8m²-32＞0
∴m＜-

2

或m＞

2

．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆简单几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．