Question

9．已知函数f（x）=xe^x，g（x）=-（x+1）²+a，若?x₁，x₂∈R，使得f（x₁）≤g（x₂）成立，则实数a的取值范围是[-$\frac{1}{e}$，+∞）．

Answer 1

分析 ?x₁，x₂∈R，使得f（x₂）≤g（x₁）成立，等价于f（x）_min≤g（x）_max，利用导数可求得f（x）的最小值，根据二次函数的性质可求得g（x）的最大值，代入上述不等式即可求得答案．

解答 解：?x₁，x₂∈R，使得f（x₂）≤g（x₁）成立，等价于f（x）_min≤g（x）_max，
f′（x）=e^x+xe^x=（1+x）e^x，
当x＜-1时，f′（x）＜0，f（x）递减，当x＞-1时，f′（x）＞0，f（x）递增，
所以当x=-1时，f（x）取得最小值f（x）_min=f（-1）=-$\frac{1}{e}$；
当x=-1时g（x）取得最大值为g（x）_max=g（-1）=a，
所以-$\frac{1}{e}$≤a，即实数a的取值范围是a≥-$\frac{1}{e}$，
故答案为：[-$\frac{1}{e}$，+∞）．

点评 本题考查二次函数的性质及利用导数求函数的最值，考查“能成立”问题的处理方法，解决该题的关键是把问题转化为求函数的最值问题解决．