Question

4．已知函数f（x）=-x³+x²+a，g（x）=m lnx．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在x∈[-$\frac{1}{2}$，1]上的最大值为$\frac{3}{8}$，求实数a的值；
（3）若对任意x∈[1，e]，g（x）≥$\frac{f'（x）}{3}$+（m+$\frac{4}{3}$）x恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）根据函数的单调区间，求出f（x）的最大值，从而求出a的值即可；
（3）问题转化为m≤$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$，x∈[1，e]恒成立，令h（x）=$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$，x∈[1，e]，求出h（x）的最小值，从而求出m的范围即可．

解答 解：（1）∵f′（x）=-3x²+2x=-x（3x-2），
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜$\frac{2}{3}$，
令f′（x）＜0，解得：x＜0或x＞$\frac{2}{3}$，
∴f（x）在（-∞，0）递减，在（0，$\frac{2}{3}$）递增，在（$\frac{2}{3}$，+∞）递减；
（2）当x∈[-$\frac{1}{2}$，1]时，
f（x）在（-$\frac{1}{2}$，0）递减，在（0，$\frac{2}{3}$）递增，在（$\frac{2}{3}$，1]递减，
∴f（x）_max=$\frac{3}{8}$+a=$\frac{3}{8}$，
解得：a=0；
（3）∵g（x）≥$\frac{f'（x）}{3}$+（m+$\frac{4}{3}$）x，
∴m（x-lnx）≤x²-2x，x∈[1，e]恒成立，
∵x∈[1，e]，∴lnx∈[0，1]，
∴x-lnx＞0，（x与lnx不能同时取到1），
∴m≤$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$，x∈[1，e]恒成立，
令h（x）=$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$，x∈[1，e]，
则m≤h（x）_min，
∴h′（x）=$\frac{（x-1）（x-2lnx+2）}{{（x-lnx）}^{2}}$≥0，
∴h（x）在[1，e]递增，
∴h（x）_min=h（1）=-1，
∴m≤-1，
即m的范围是（-∞，-1]．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．