Question

设f（x）=（k+1）x²-（2k+1）x+1，x∈R．
（1）若f（x）＞0恒成立，求实数k的取值范围；
（2）当-1＜k＜0时，解不等式f（x）＞0．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由f（x）＞0恒成立，得出不等式组，解出k的范围即可，（2）对k分三种情况进行讨论，分别求出即可．

解答： 解：（1）∵f（x）＞0恒成立，
∴

k+1＞0 △=(2k+1)2-4(k+1)＜0

，
解得：-

3

2

＜k＜

3

2

；
（2）①当-

3

2

＜k＜0时，不等式f（x）的解集为：R；
②当k=-

3

2

时，令f（0）=0，
即：（k+1）x²-（2k+1）x+1=0，
∴△=4k²-3=0，
∴x=

2k+1

2(k+1)

=-1-

3

∴不等式f（x）的解集为：x≠-1-

3

，
③当-1＜k＜-

3

2

时，
不等式f（x）的解集为：{x|x＞

2k+1+ 4k2-3

2k+2

}，或{x|x＜

2k+1- 4k2-3

2k+2

}．

点评：本题考察了二次函数的性质问题，二次函数与一元二次不等式的关系，渗透了数形结合思想，是一道基础题．