Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，且3a_n+1+2S_n=3
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）对任意正整数n，是否存在k∈R，使得S_n≥k恒成立？若存在，求是实数k的最大值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）在数列递推式中取n=n-1得另一递推式，作差后得到数列{a_n}为等比数列并求得公比，然后直接代入等比数列的通项公式得答案；
（2）求出等比数列的前n项和，由单调性求出前n项和的最小值，则可求得使S_n≥k恒成立的k的最大值．

解答： 解：（1）由3a_n+1+2S_n=3  ①
得，当n≥2时，3a_n+2S_n-1=3  ②
由①-②得3a_n+1-3a_n+2a_n=0，
∴an+1=

1

3

an （n≥2）．
又a₁=1，3a₂+2a₁=3，得a2=

1

3

，
∴a2=

1

3

a1．
故数列{a_n}是首项为1，公比q=

1

3

的等比数列，
∴an=a1qn-1=(

1

3

)n-1；
（2）假设存在满足题设条件的实数k，由（1）知，
Sn=

a1(1-qn)

1-q

=

1-( 1 3 )n

1- 1 3

=

3

2

[1-(

1

3

)n]．
由题意知，对任意正整数n恒有k≤

3

2

[1-(

1

3

)n]，
又数列{1-(

1

3

)n}单调递增，
∴当n=1时，数列中的最小项为

2

3

，
则必有k≤1，
即实数k最大值为1．

点评：本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，考查了等比数列的前n项和，训练了利用函数单调性求数列和的最值，是中档题．