Question

已知a₁=

1

4

，S_n=

Sn-1

2Sn-1+1

（n≥2），求a_n．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：首先利用关系式的变形求出数列：{

1

Sn

}是以{

1

S1

}为首2为公差的等差数列．进一步确定Sn=

1

2n+2

，最后利用前n项和法求出数列an=

1

2n+2

-

1

2n

．

解答： 解：已知：Sn=

Sn-1

2Sn-1+1

则：

1

Sn

=

2Sn-1+1

Sn-1

=

1

Sn-1

+2

1

Sn

-

1

Sn-1

=2（n≥2）
所以数列{

1

Sn

}是以{

1

S1

}为首2为公差的等差数列．
所以：

1

Sn

=4+2（n-1）=2n+2
Sn=

1

2n+2

当n=1时S1=

1

4

=a1
所以n≥1，Sn=

1

2n+2

an=Sn-Sn-1=

1

2n+2

-

1

2n

故答案为：an=

1

2n+2

-

1

2n

点评：本题考查的知识点：数列的递推关系式，等差数列的通项公式的应用即利用前n项和求数列的通项公式．