Question

若不等式|a-1|＞

1

1×2×3

+

1

2×3×4

+…+

1

n(n+1)(n+2)

对一切n∈N₊恒成立，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,数列的求和

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：利用裂项法求和，进而可得不等式，即可求出实数a的取值范围．

解答： 解：

1

n(n+1)(n+2)

=

1

2

[

1

n(n+1)

-

1

(n+1)(n+2)

]=

1

2

（

1

n

-

1

n+1

）-

1

2

（

1

n+1

-

1

n+2

），
∴

1

1×2×3

+

1

2×3×4

+…+

1

n(n+1)(n+2)

=

1

2

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）-

1

2

（

1

2

-

1

3

+…+

1

n+1

-

1

n+2

）
=

1

2

（1-

1

n+1

）-

1

2

（

1

2

-

1

n+2

）=

1

2

（

1

2

-

1

n+1

+

1

n+2

）≤

1

6

，
∵不等式|a-1|＞

1

1×2×3

+

1

2×3×4

+…+

1

n(n+1)(n+2)

对一切n∈N₊恒成立，
∴|a-1|＞

1

6

，
∴a＜

5

6

或a＞

7

6

．
故答案为：a＜

5

6

或a＞

7

6

．

点评：本题考查函数恒成立问题，考查数列的求和，正确裂项是关键．