Question

如图，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点（算第1层），第2层每边有两个点，第3层每边有三个点，依此类推．如果一个六边形点阵共有169个点，那么它一共有

 

层．

Answer 1

考点：归纳推理

专题：常规题型

分析：先根据条件对每一层的点的个数进行列举，然后通过归纳推理，得到各层的点的个数的一个规律，再利用这个规律求出共有n层时点的总数，结合条件，求出图形的层数．

解答： 解：第一层有点数为：1，
第二层有点数为：6，
第三层有点数为：（顶点+边的中点）6+6=2×6，
第四层有点的个数为：（在第三层基础上，各边多一点）6+6+6=3×6，
第五层有点的个数为：（在第四层基础上，各边多一点）6+6+6+6=4×6，
…
∴第n（n≥2，n∈N^*）层有点的个数为：（在第n-1层基础上，各边多一点）6（n-1）．
设一个图形共有n（n≥2，n∈N^*）层时，共有的点数为：
1+6+6+…+6（n-1）=1+

6+6(n-1)

2

×n=3n²-3n+1
由题意得：3n²-3n+1=169，
∴（n+7）（n-8）=0．
∵n≥2，n∈N^*
∴n=8．
故一共有8层．
故答案为：8．

点评：本题考查了归纳推理知识，要求先列举，后归纳，再应用．解题的关键在于归纳出各层点数的规律．