Question

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦点分别是F₁，F₂，过F₁垂直于x轴的直线与E相交于A，B 两点，且|AB|=3

2

，离心率为

2

2

．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过焦点F₂作与坐标轴不垂直的直线l交椭圆E于C，D两点，点M是点C关于x轴的对称点，在x轴上是否存在一个定点N使得D，M，N三点共线？若存在，求出点N坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）求出A的纵坐标，利用|AB|=3

2

，建立方程，再利用离心率为

2

2

，求出几何量，即可求出椭圆E的方程；
（2）直线l：y=k（x-3）（k≠0），代入椭圆方程，消去y，由已知M（x₁，-y₁），设存在定点N（t，0），使得D，M，N三点共线，则

y2

x2-t

=

-y1

x1-t

，利用韦达定理，即可得出结论．

解答： 解：（1）由题意，x_A=-c，∴

(-c)2

a2

+

y2

b2

=1，
∴y=±

b2

a

，
∴|AB|=2•

b2

a

=3

2

，
∵

c

a

=

2

2

，b²=a²-c²，
∴a=3

2

，b=3，
∴椭圆E的方程为

x2

18

+

y2

9

=1；
（2）直线l：y=k（x-3）（k≠0），代入椭圆方程，消去y可得（2k²+1）x²-12k²x+18k²-18=0，
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则x₁+x₂=

12k2

1+2k2

，x₁x₂=

18k2-18

1+2k2

，
由已知M（x₁，-y₁），设存在定点N（t，0），使得D，M，N三点共线，
则

y2

x2-t

=

-y1

x1-t

，
∴t=

x1y2+x2y1

y1+y2

=

2x1x2-3(x1+x2)

x1+x2-6

=6，
∴在x轴上存在一个定点N（6，0），使得D，M，N三点共线．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．