Question

用单调性的定义证明：f（x）=x³是R上增函数．

Answer 1

考点：函数的单调性及单调区间

专题：函数的性质及应用

分析：设x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，判断f（x₁）-f（x₂）的符号，从而证出f（x₁）＜f（x₂），这样便证出了f（x）是R上的增函数．

解答： 证：设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则：
f(x1)-f(x2)=x13-x23=(x1-x2)(x12+x22+x1x2)=

1

2

(x1-x2)[(x1+x2)2+x12+x22]；
∵x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁，x₂不全为0，(x1+x2)2+x12+x22＞0；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）=x³是R上的增函数．

点评：考查单调性的定义，以及利用单调性的定义证明函数的单调性，及立方差公式．