Question

已知函数f（x）=xm2-2m-3（m∈N^*）的图象关于y轴对称，且f（3）＞f（5），求满足(a+1)-

m

3

＜(3-2a)-

m

3

的a的取值范围．

Answer 1

考点：幂函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：根据幂函数在（0，+∞）上是减函数，可以确定m-3＜0，再根据的图象关于y轴对称，即可得到f（x）为偶函数，从而确定m的值，构造函数g（x）=，利用幂函数的性质，即可列出关于a的不等式，求解不等式可以求得a的取值范围．
根据幂函数在（0，+∞）上函数值随x增大而减小，得到3m-9＜0，然后根据函数图象关于y轴对称，得到函数为偶函数，确定m的值，然后解不等式即可．

解答： 解：解：∵函数f（x）=xm2-2m-3（m∈N^*）在（0，+∞）上递减，
∴m²-2m-3＜0，解得-1＜m＜3，
∵m∈N₊，
∴m=1，2，
又∵函数的图象关于y轴对称，
∴f（x）为偶函数，
∴m²-2m-3是偶数，
又m=1时，m²-2m-3=-4为偶数；
m=2时，m²-2m-3=3为奇数，
∴m=1，
令g（x）=x -

1

3

，
∴g（x）=x -

1

3

在（-∞，0）和（0，+∞）上均为减函数，
∵(a+1)-

m

3

＜(3-2a)-

m

3

，
∴a+1＞3-2a＞0，或0＞a+1＞3-2a，或a+1＜0＜3-2a，
解得a＜-1，或

2

3

＜a＜

3

2

，
故a的取值范围为{a|a＜-1或

2

3

＜a＜

3

2

，}．

点评：本题主要考查幂函数的图象和性质，利用条件求出m是解决本题的关键．