Question

已知函数f（x）对任意的实数x均有f（x）=-2f（x+2），且f（x）在区间[0，2]上有表达式f（x）=x（x-2）．
（1）求f（-1），f（2.5）的值；
（2）写出f（x）在区间[-3，3]上的表达式；
（3）指出f（x）在区间[-3，3]上的单调区间（不需证明）．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数解析式的求解及常用方法,函数的值

专题：函数的性质及应用

分析：（1）通过已知条件即可得到f（-1）=-2f（-1+2）=-2f（1）=2，f（2.5）=f（0.5+2）=-

1

2

f(0.5)=

3

8

，所用的方法就是将自变量的值变到区间[0，2]上；
（2）要求f（x）在区间[-3，3]上的表达式，需要上f（x）在[0，2]上的表达式，所以可将区间[-3，3]分成几个区间，并且能将每个区间变到区间[0，2]上：x∈[-3，-2]，（x+4）∈[1，2]；x∈（-2，0），（x+2）∈（0，2）；x∈[0，2]；x∈（2，3]，（x-2）∈（0，1]，这样即可求出每个区间上的f（x）表达式，从而写出f（x）在[-3，3]上的表达式；
（3）根据（2）求出的f（x）的解析式，根据二次函数的单调性，判断每段函数在对应区间上的单调性，从而求出f（x）在[-3，3]上的单调区间．

解答： 解：（1）由已知条件得f（-1）=-2f（1）=-2×1×（1-2）=2，f（2.5）=f（0.5+2）=-

1

2

f(0.5)=-

1

2

×0.5×(-1.5)=

3

8

；
（2）x∈[-3，-2]时，（x+2+2）∈[1，2]；
∴f（x）=-2f（x+2）=4f（x+4）=4（x+4）（x+2）=4x²+24x+32；
x∈（-2，0）时，（x+2）∈（0，2）；
∴f（x）=-2f（x+2）=-2（x+2）x=-2x²-4x；
x∈[0，2]时，f（x）=x（x-2）=x²-2x；
x∈（2，3]时，x-2∈（0，1]；
∴f(x)=f(x-2+2)=-

1

2

f(x-2)=-

1

2

(x-2)(x-4)=-

1

2

x2+3x-4；
∴f（x）=

4x2+24x+32 x∈[-3，-2] -2x2-4x x∈(-2，0) x2-2x x∈[0，2] - 1 2 x2+3x-4 x∈(2，3)

；
（3）4x²+24x+32的对称轴为x=-3，∴该函数在[-3，-2]单调递增；
-2x²-4x的对称轴为x=-1，∴该函数在（-2，-1]上单调递增，在（-1，0）上单调递减；
x²-2x的对称轴为x=1，∴该函数在[0，1]上单调递减，在（1，2]上单调递增；
y=-

1

2

x2+3x-4的对称轴为x=3，∴该函数在（2，3]上单调递增；
∴综上得f（x）的递增区间是[-3，-1]，（1，3]；
f（x）的递减区间是（-1，1]．

点评：考查运用题中所给条件的能力，将所给区间分成几个区间，从而通过条件将每个区间变到已知表达式的区间上，从而求出该区间表达式的方法，以及二次函数的单调性及单调区间．