Question

9．已知抛物线y²=2px的准线经过点（-1，1），
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）已知过抛物线焦点的直线交抛物线于A，B两点，且|AB|长为5，求直线AB的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意可知抛物线y²=2px的准线方程为x=-1，求出p，即可求抛物线的方程；
（Ⅱ）分类讨论，直线与抛物线方程联立，由抛物线的定义可知，|AB|=x₁+x₂+p=5，即可求直线AB的方程．

解答 解：（Ⅰ）根据题意可知抛物线y²=2px的准线方程为x=-1，
则$-\frac{p}{2}=-1$，p=2，…（2分）
∴抛物线的方程为y²=4x； …（4分）
（Ⅱ）当过焦点的直线斜率不存在时，|AB|=4，不合题意； …（5分）
故可设直线AB方程为y=k（x-1）（k≠0），$A（\begin{array}{l}{{x_1}，{y_1}}\end{array}），B（\begin{array}{l}{{x_2}，{y_2}}\end{array}）$，…（6分）
由$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=4x\\ y=k（x-1）\end{array}\right.$得：k²x²-（2k²+4）x+k²=0，…（7分）
则${x_1}+{x_2}=\frac{{2{k^2}+4}}{k^2}$，…（8分）
由抛物线的定义可知，|AB|=x₁+x₂+p，∴$5=\frac{{2{k^2}+4}}{k^2}+2$，…（10分）
解得k=±2，∴所求直线方程为2x-y-2=0或2x+y-2=0．…（12分）

点评 本题考查抛物线的方程与性质，考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题．