Question

6．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是AB的中点．
（1）求证：BC₁∥平面A₁CD；
（2）若AA₁=AC=CB=5，AB=6，求三棱锥D-AA₁C的体积．

Answer 1

分析 （1）连结AC₁，A₁C，交于点O，连结OD，则OD∥BC₁，由此能证明BC₁∥平面A₁CD．
（2）三棱锥D-AA₁C的体积${V}_{D-A{A}_{1}C}$=${V}_{{A}_{1}-ADC}$，由此能求出结果．

解答 证明：（1）连结AC₁，A₁C，交于点O，连结OD，
∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是AB的中点．
∴OD∥BC₁，∵OD?平面A₁CD，BC₁?平面A₁CD，
∴BC₁∥平面A₁CD．
解：（2）∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是AB的中点，AA₁=AC=CB=5，AB=6，
∴A₁A⊥ADC，S_△ADC=$\frac{1}{2}AD•DC$=$\frac{1}{2}×3×\sqrt{25-9}$=6，
∴三棱锥D-AA₁C的体积：
${V}_{D-A{A}_{1}C}$=${V}_{{A}_{1}-ADC}$=$\frac{1}{3}×{A}_{1}A×{S}_{△ADC}$=$\frac{1}{3}×5×6$=10．

点评 本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间想象能力、推理论证能力、数形结合思想、转化思想以及计算能力，是中档题．