Question

4．有下列四个命题，
①若点P在椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}$=1上，左焦点为F，则|PF|长的取值范围为[1，5]；
②方程x=$\sqrt{{y^2}+1}$表示双曲线的一部分；
③过点（0，2）的直线l与抛物线y²=4x有且只有一个公共点，则这样的直线l共有3条；
④函数f（x）=x³-2x²+1在（-1，2）上有最小值，也有最大值．
其中真命题的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根据椭圆的性质，可判断①；根据双曲线的标准方程，可判断②；根据直线与抛物线的位置关系，可判断③；分析函数的最值，可判断④．

解答 解：椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}$=1的a=3．c=2，
若点P在椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}$=1上，左焦点为F，
|PF|长的最小值为a-c=1，最大值为a+c=5，
则|PF|长的取值范围为[1，5]，故①正确；
②方程x=$\sqrt{{y^2}+1}$可化为：x²-y²=1，x≥0，
表示双曲线的一部分，故②正确；
③过点（0，2）的直线l与抛物线y²=4x有且只有一个公共点，
则直线与抛物线相切，或与对称轴平行，
则这样的直线l共有3条，故③正确；
④函数f（x）=x³-2x²+1的导数f′（x）=3x²-4x²，
令f′（x）=0，则x=0，或x=$\frac{4}{3}$，
由f（-1）=-2，f（$\frac{4}{3}$）=$-\frac{5}{27}$； f（0）=1，f（2）=1，
故在（-1，2）上无最小值，有最大值．
故④错误；
故选：C

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了椭圆的性质，双曲线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，函数的最值，难度中档．