Question

已知⊙C：（x-1）²+y²=1，直线l：kx-y+k=0交⊙C于M、N两点，且

CM

•

CN

=-

1

2

，则k=

 

．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系,平面向量数量积的运算

专题：直线与圆

分析：由

CM

•

CN

=-

1

2

，求得cos∠MCN=

1

2

，可得∠MCN=

π

3

，由cos

π

6

=

3

2

=

d

r

求出弦心距d，再利用点到直线的距离公式可得d=

|k-0+k|

k2+1

，从而求得k的值．

解答： 解：由题意可得点C（1，0），圆的半径为r=1．
由

CM

•

CN

=-

1

2

=1×1×cos∠MCN，可得cos∠MCN=-

1

2

，∴∠MCN=

2π

3

，∴cos

π

3

=

1

2

=

d

r

=d （d为弦心距）．
再利用点到直线的距离公式可得d=

1

2

=

|k-0+k|

k2+1

，求得k=±

15

15

，
故答案为：±

15

15

．

点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，点到直线的距离公式，直线和圆相交的性质，属于基础题．