Question

已知函数f（x）=（x²+x-a）e 

x

a

（a＞0）．
（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当a=5时，求f（x）的极值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）当a=1时，f（x）=（x²+x-1）e^x．f′（x）=（x²+3x）e^x．令f′（x）=0，解得x=0，-3．列出表格，即可得出函数的顶点区间；
（2）当a=5时，函数f（x）=（x²+x-5）e

x

5

．可得f′（x）=

x

5

(x+11)e

x

5

．令f′（x）=0，解得x=0，-11．列出表格，利用导数研究函数的单调性，即可得出极值．

解答： 解：（1）当a=1时，f（x）=（x²+x-1）e^x．
∴f′（x）=（x²+3x）e^x．
令f′（x）=0，解得x=0，-3．
列出表格：

x	（-∞，-3）	-3	（-3，0）	0	（0，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

由表格可知：函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-3），（0，+∞）；单调递减区间为（-3，0）．
（2）当a=5时，函数f（x）=（x²+x-5）e

x

5

．
∴f′（x）=

x

5

(x+11)e

x

5

．
令f′（x）=0，解得x=0，-11．
列出表格如下：

x	（-∞，-11）	-11	（-11，0）	0	（0，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

由表格可知：当x=-11时，函数f（x）取得极大值，f（-11）=105；当x=0时，函数f（x）取得极小值，f（0）=-5．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值，考查了推理能力和技能数列，属于中档题．