Question

设函数f（x）=ax³+3bx（a，b为实数，a＜0，b＞0），当x∈[0，1]时，有f（x）∈[0，1]，则b的最大值是

 

．

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：求导数，利用函数的单调性，结合x∈[0，1]时，有f（x）∈[0，1]，即可b的最大值．

解答： 解：∵f（x）=ax³+3bx，∴f′（x）=3ax²+3b
令f′（x）=0，可得x=±

- b a

，
①

- b a

≥1，则f（x）_max=f（1）=1，∴b∈（0，

1

2

]；
②0＜

- b a

＜1，f（x）_max=f（

- b a

）=1，f（1）≥0，∴b∈（

1

2

，

3

2

]．
∴b的最大值是

3

2

．
故答案为：

3

2

．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的值域，考查学生的计算能力，属于中档题．