Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点（0，2），离心率为

6

3

．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过定点（2，0）的直线l与椭圆交于A，B两点，且∠AOB是锐角，（其中O为坐标原点），求直线l的斜率的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由题意得b=2，

c

a

=

6

3

，由此能求出椭圆的方程．
（Ⅱ）设直线l的方程为：y=k（x-2），由

x2 12 + y2 4 =1 y=k(x-2)

，得x²+3k²（x-2）²=12，由此利用韦达定理，结合已知条件能求出直线l的斜率的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）由题意得b=2，

c

a

=

6

3

结合a²=b²+c²，解得a²=12
所以，椭圆的方程为

x2

12

+

y2

4

=1．
（Ⅱ） 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

OA

=(x1，y1)，

OB

=(x2，y2)．
设直线l的方程为：y=k（x-2）
由

x2 12 + y2 4 =1 y=k(x-2)

，得x²+3k²（x-2）²=12，
即（1+3k²）x²-12k²x+12k²-12=0．
所以x1+x2=

12k2

1+3k2

，x1•x2=

12k2-12

1+3k2

，
y1•y2=k2(x1-2)(x2-2)=k2[(x1x2-2(x1+x2)+4]
=

12k4-12k2

1+3k2

-

24k4

1+3k2

+

12k4+4k2

1+3k2

=-

8k2

1+3k2

，
∵∠AOB是锐角，∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=

4k2-12

1+3k2

＞0，
解得k＞

3

或k＜-

3

．
故直线l的斜率的取值范围是（-∞，-

3

）∪（

3

，+∞）．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线的斜率的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．