Question

已知函数f（x）=

4x

2+4x

．
（1）证明：y=f（x）的图象关于点P（

1

2

，

1

2

）对称；
（2）求f（-100）+f（-99）+…+f（101）；
（3）求f（

0

n

）+f（

1

n

）+…+f（

n-1

n

）+f（

n

n

）（n∈N^*）．

Answer 1

考点：函数的值,函数的图象,指数型复合函数的性质及应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由已知中函数的解析式，分析出1-f（1-x）=f（x），可得函数f（x）的图象的对称中心是（

1

2

，

1

2

）；
（2）由（1）得：f（x）+f（1-x）=1，进而可得f（-100）+f（-99）+…+f（101）=101[f（x）+f（1-x）]．
（3）由（1）得：f（x）+f（1-x）=1，进而可得f（

0

n

）+f（

1

n

）+…+f（

n-1

n

）+f（

n

n

）=

n+1

2

[f（x）+f（1-x）]．

解答： 证明：（1）∵函数f（x）=

4x

2+4x

．
∴1-f（1-x）=1-

41-x

2+41-x

=

2

2+41-x

=

2•4x

2•4x+4

=

4x

2+4x

，
故函数f（x）的图象的对称中心是（

1

2

，

1

2

）；
解：（2）由（1）得：f（x）+f（1-x）=1，
∴f（-100）+f（-99）+…+f（101）=101[f（x）+f（1-x）]=101，
（3）由（1）得：f（x）+f（1-x）=1，
∴f（

0

n

）+f（

1

n

）+…+f（

n-1

n

）+f（

n

n

）=

n+1

2

[f（x）+f（1-x）]=

n+1

2

，

点评：本题考查的知识点是函数的对称性，其中熟练掌握函数对称变换法则，是解答的关键．