Question

已知函数f（x）=ax²+2x+c（a，c∈N^*），f（1）=5，6＜f（2）＜11，?x∈[

1

2

，

3

2

]，f（x）-2mx≤1恒成立，则实数m的范围是（　　）

• A、m≥0
• B、m≥1
• C、m≥

  9

  4

• D、m≥

  11

  4

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：把条件①f（1）=5；②6＜f（2）＜11代入到f（x）中求出a和c；进而不等式f（x）-2mx≤1恒成立?2（1-m）≤-（x+

1

x

）在[

1

2

，

3

2

]上恒成立，只需要求出[-（x+

1

x

）]_min=-

5

2

，然后2（1-m）≤-

5

2

求出m的范围即可．

解答： 解：∵f（1）=a+2+c=5，
∴c=3-a．①
又∵6＜f（2）＜11，即6＜4a+c+4＜11，②
将①式代入②式，得-

1

3

＜a＜

4

3

，
又∵a、c∈N^*，
∴a=1，c=2．
∴f（x）=x²+2x+2．
∵x∈[

1

2

，

3

2

]，不等式f（x）-2mx≤1恒成立，
∴2（1-m）≤-（x+

1

x

）在[

1

2

，

3

2

]上恒成立．
易知[-（x+

1

x

）]_min=-

5

2

，
故只需2（1-m）≤-

5

2

即可．
解得m≥

9

4

．
故选：C

点评：考查学生利用待定系数法求函数解析式的能力，理解函数最值及几何意义的能力，理解不等式恒成立的能力．